Иллюстрированный самоучитель по Mathematica
Полиномиальная интерполяция и аппроксимация
Для решения задач интерполяции и аппроксимации функций, заданных рядом узловых точек, в Mathematica используются следующие функции:
- InterpolatingFunctionfrange, table] — возвращает интерполирующую функцию, позволяющую вычислять промежуточные значения в заданном диапазоне range для таблицы table;
- InterpolatingPolynomial [data, var] — возвращает полином (степенной многочлен) по переменной var, значения которого в узловых точках точно совпадают с данными из списка data. Он может иметь форму { {xl, f1}, {х2, f2},...} или {fl, f2,...} (во втором случае xi принимают значения 1, 2,...). Вместо fi может быть список {fi, dfi, ddfi,...}, указывающий значения производных в точках xi;
-
Interpolation [data] — конструирует объект InterpolatingFunction.
InterpolationOrder — опция функции Interpolation, указывающая степень подходящего полинома. При ее значении, равном 1, осуществляется кусочно-линейная интерполяция. Целое значение, большее единицы, задает степень глобальной полиномиальной интерполяции.
Применение основной функции Interpolation поясняет следующий пример:
data = ТаЫе[{х, х^2 + 1}, {х, 1, 5}]
{{1, 2}, {2, 5}, {3, 10}, {4, 17}, {5, 26}}
funi = Interpolation[data]
InterpolatingFunctionf{{1, 5}}, 0]
{funi [1.5], funi[3], funi[4.5]}
{3.25, 10, 21.25}
Таким образом, на заданном отрезке изменения х функция Interpolation позволяет найти любое промежуточное значение функции funi [x], в том числе значения в узловых точках.
Теперь рассмотрим часто используемую полиномиальную аппроксимацию, при которой ищется полином, график которого точно проходит через узловые точки данных.
Степень интерполирующего (и аппроксимирующего) полинома всегда на 1 меньше числа узловых точек интерполяции или аппроксимации. Аппроксимация отличается от интерполяции тем, что предполагает получение аппроксимирующей функции в явном виде. При полиномиальной аппроксимации такой функцией является степенной многочлен.
Пример на рис. 5.13 иллюстрирует технику проведения полиномиальной аппроксимации с применением интерполирующего степенного многочлена.
Рис. 5.13. Полиномиальная аппроксимация таблично заданных данных
Как и следовало ожидать, степень аппроксимирующего многочлена оказалась равной трем, поскольку было задано четыре пары данных. На рис. 5.13 представлено также сравнение результата полиномиальной аппроксимации с исходными данными. Исходные данные представлены на графике в виде точек, а зависимость, представленная аппроксимирующим полиномом, выведена сплошной линией.
В узлах интерполяции значения интерполирующего многочлена точно совпадают со значениями исходных данных. Однако это не гарантирует малую погрешность за пределами узловых точек (особенно при экстраполяции функций). Чем больше пар данных и чем выше степень аппроксимирующего многочлена, тем выше погрешность аппроксимации. Обычно аппроксимация при степени многочлена выше 8-10 не применяется из-за резкого возрастания погрешности. При большом числе пар исходных данных более полезной на практике является регрессия.
